प्रश्नावली 7.4

Q1. दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है |

हल :

दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका

कोण B समकोण है और AC कर्ण है |

सिद्ध करना है : 

प्रमाण : Δ ABC का ∠B समकोण है |

अत: ∠A और ∠C न्यूनकोण है |

इसलिए, ∠B > ∠C  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]

∴     AC > AB  (i) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

पुन: ∠B समकोण है और ∠A न्यूनकोण है |

इसलिए, ∠B > ∠A  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]

∴     AC > BC  (ii) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

समी० (i) तथा (ii) से कर्ण AC सबसे बड़ी  भुजा है |

Proved

Q2. आकृति 7.48 में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है | साथ ही, ∠PBC < ∠QCB है | दर्शाइए कि AC > AB है |

हल :

दिया है : ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है जिसमें, ∠PBC < ∠QCB है |

सिद्ध करना है : AC > AB

प्रमाण : AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है,

इसलिए, ∠ABC + ∠PBC = 180° ...... (1) रैखिक युग्म

और    ∠ACB + ∠QCB = 180° ...... (2) रैखिक युग्म

समीकरण (1) तथा (2) से

∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB (चूँकि दोनों समी० का मान समान है)

जबकि ∠PBC < ∠QCB (दिया है)

अत: स्पष्ट है कि

∠ABC > ∠ACB  Proved

Q3. आकृति 7.49 में, ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है |

दर्शाइए कि AD < BC है |

हल :

दिया है : Δ AOB और Δ COD में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है |

सिद्ध करना है : AD < BC

प्रमाण : Δ AOB में,

   ∠B < ∠A  (दिया है)

∴  AO < BO  .... (1)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

अब, Δ COD में,

   ∠C < ∠D  (दिया है)

∴  DO < CO  .... (2)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर

   AO + DO < BO + CO

या AD < BC Proved

Q4. AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं (देखिये आकृति 7.50) | दर्शाइए कि  ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है |

हल :

दिया है : AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की

सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं |

सिद्ध करना है :

(i) ∠A > ∠C

(ii) ∠B > ∠D

रचना : A को C से और B को D से मिलाया |

प्रमाण : (i) ΔABC में,

AB सबसे छोटी भुजा है, (दिया है)

अत:, BC > AB 

∴    ∠2 > ∠5   ...... (1) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)

अब, ΔACD में,

CD सबसे बड़ी भुजा है, (दिया है)

अत:, CD > AD 

∴    ∠1 > ∠6   ...... (2) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)

समी० (1) तथा (2) को जोड़ने पर

∠1 + ∠2 > ∠5 + ∠6

या    ∠A > ∠C       Proved,

(ii) इसी प्रकार ΔABD में,

  AD > AB (क्योंकि AB सबसे छोटी भुजा है)

∴ ∠3 > ∠8   ...... (3)

और ΔBCD में,

CD > BC (क्योंकि CD सबसे बड़ी भुजा है)

∴ ∠4 > ∠7   ...... (4)

समी० (3) तथा (4) को जोड़ने पर

∠3 + ∠4 > ∠7 + ∠8

या    ∠B > ∠D     Proved, 

Q5. आकृति 7.51 में PR > PQ  है और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | सिद्ध कीजिए कि  ∠PSR > ∠PSQ  है |

हल :

दिया है : PR > PQ और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है |

सिद्ध करना है : ∠PSR > ∠PSQ  

प्रमाण : PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | (दिया है )

∴ ∠QPS = ∠RPS   …… (1)

और,  PR > PQ   (दिया है)

∴  ∠PQS > ∠PRS   .……(2)

ΔPQS में,

∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = 180°  ..... (3) (Δ के तीनों कोणों का योग)

इसीप्रकार, ΔPRS में,

∠PRS + ∠RPS + ∠PSR = 180°  ..... (4) (Δ के तीनों कोणों का योग)

समीकरण (3) और (4) से हम पाते है कि ..

   ∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠RPS + ∠PSR

या ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠PSR

जबकि ∠PQS > ∠PRS   समी० (2) से

अत: स्पष्ट है कि ∠PSQ < ∠PSR  Proved

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Q6. दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

हल :

दिया है : m एक रेखा है और O एक बिंदु है

जो m पर स्थित नहीं है | OP ⊥ m 

सिद्ध करना है : OP < OQ < OR < OS

प्रमाण : OP ⊥ m दिया है |

∴ ∠OPQ = 90° और ∠OQP, ∠ORP, ∠OSP न्यूनकोण हैं |

अत: ∠OQP < ∠OPQ

∴   OP < OQ ..... (1)  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

इसीप्रकार, ∠ORP < ∠OPQ

∴   OP < OR ..... (2) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

समी० (1) तथा (2) से

OP < OQ < OR

OP जो लंब है सबसे छोटी भुजा है |