प्रश्नावली 7.1

Q1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और  AB, ∠A को समद्विभाजित करता है | (see Fig. 7.16). दर्शाइए Δ ABC ≅ Δ ABD है |

हल:

दिया है : AC = AD और AB ∠A को समद्विभाजित करता है |      

सिद्ध करना :  Δ ABC ≅ Δ ABD.

प्रमाण :  

Δ ABC तथा Δ ABD में,

     AC = AD       [दिया है]

∠CAB = ∠BAD   [AB ∠A समद्विभाजित करता है ]

     AB = AB         [उभयनिष्ठ]

SAS सर्वांगसमता नियम से 

Δ ABC ≅ Δ ABD

      BC = BD [CPCT]

Q2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig.7.17) है | सिद्ध कीजिए कि : 

(i) Δ ABD ≅ Δ BAC

(ii)   BD = AC

(iii)  ∠ ABD = ∠ BAC                                                                                        

हल :

दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠ DAB = ∠ CBA  है | 

सिद्ध करना है : 

(i) Δ ABD ≅ Δ BAC

(ii)   BD = AC                    

(iii)  ∠ ABD = ∠ BAC

प्रमाण :  

(i) Δ ABD तथा Δ BAC में, 

      AD = BC        [दिया है]

∠ DAB = ∠ CBA   [दिया है]

      AB = AB         [उभयनिष्ठ]

SAS सर्वांगसमता नियम से 

Δ ABD ≅ Δ BAC

(ii)  BD = AC    [By CPCT]

(iii) ∠ ABD = ∠ BAC    [By CPCT]

Q3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिये आकृति 7.18) | दर्शाइए कि CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है | 

हल : 

दिया है : AD ⊥ AB और BC ⊥ AB है और AD = BC है | 

सिद्ध करना है :

AO = BO अर्थात CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है | 

प्रमाण :   

∆AOD तथा ∆BOC

∠AOD = ∠ BOC (शीर्षाभिमुख कोण)

∠DAO = ∠CBO  (प्रत्येक 90º)      

     BC = AD (दिया है)

ASA सर्वांगसमता नियम से 

∆AOD ≅​ ∆BOC

∴  AO = BO   (By CPCT) 

 अत: CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है | 

Q4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है | दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है | 

हल :

दिया है : l || m और p || q है जो एक दुसरे को A, B, C  तथा D पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆CDA

प्रमाण :

 l || m ........ (1)  दिया है |

p || q  .........(2)  दिया है |

समी० (1) तथा (2) से 

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है | 

अब, ∆ABC तथा ∆CDA में,

          BC = AD  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ]

          ∠B = ∠D  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख कोण ]

          AC = AC  [दिया है ] 

SAS सर्वांगसमता नियम से 

 ∴   ∆ABC ≅ ∆CDA    Proved 

Q5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है | BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिये आकृति 7.20) दर्शाइए कि :

(i) Δ APB ≅ Δ AQB

(ii) BP = BQ हैं, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है 

हल :  

दिया है : ∠PAQ को रेखा l समद्विभाजित करती है और BP तथा BQ, AP तथा AQ पर क्रमश: लंब है | 

सिद्ध करना है : 

(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ

प्रमाण : 

(i) Δ APB तथा Δ AQB में, 

   ∠APB = ∠AQB  (90^० प्रत्येक) 

   ∠PAB = ∠QAB  (दिया है) 

        AB = AB       (उभयनिष्ठ) 

ASA सर्वांगसमता नियम से 

     Δ APB ≅ Δ AQB

 ∴  (ii)   BP = BQ    (By CPCT) 

Q6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है | दर्शाइए कि BC = DE है | 

हल : 

दिया है : AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है |

सिद्ध करना है : BC = DE

प्रमाण : 

∠ BAD = ∠ EAC   ......... (1) दिया है 

समी० के  दोनों पक्षों में ∠ CAD जोड़ने पर 

     ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ EAC + ∠ CAD 

या  ∠ BAC = ∠ EAD   ....... (2) 

 Δ BAC तथा Δ DAE में 

         AC = AE     (दिया है) 

         AB = AD     (दिया है) 

   ∠ BAC = ∠ EAD   .......समी० (2) से 

SAS सर्वांगसमता नियम से 

 Δ BAC ≅ Δ DAE

∴     BC = DE   (By CPCT)    Proved

Q7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | (देखिए आकृति 7.22) | 

दर्शाइए कि : 

(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE

दिया है : AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | 

सिद्ध करना है : 

(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE

प्रमाण : 

  ∠ EPA = ∠ DPB    .....(1) दिया है |

समी० (1) के दोनों पक्षों में ∠ EPD जोड़ने पर 

     ∠ EPA + ∠ EPD = ∠ DPB + ∠ EPD 

या  ∠ DPA = ∠ EPB    ......... (2) 

(1) Δ DAP तथा Δ EBP में 

        AP = BP  ....... (दिया है ) 

  ∠ BAD = ∠ ABE  ..(दिया है ) 

  ∠ DPA = ∠ EPB    ....समी० (2) से  

ASA सर्वांगसमता नियम से 

 Δ DAP ≅ Δ EBP

(ii) AD = BE   (BY CPCT) Proved

Q8. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण हैं, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु हैं | C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढाया गया है कि DM = CM हैं | बिंदु D को B से मिला दिया जाता है | दर्शाइए कि : 

(i) Δ AMC ≅ Δ BMD

(ii) ∠ DBC एक समकोण  है 

(iii) Δ DBC ≅ Δ ACB

(iv) CM =  ½ AB