अध्याय 7. त्रिभुज

अभ्यास 7.2

Q1. एक समबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠ B और ∠ C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | A और O को जोडिए | दर्शाइए कि :

(i) OB = OC

(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है | 

हल: 

दिया है: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC,  और ∠ B और ∠ C कोण समद्विभाजक O पर मिलते हैं |

सिद्ध करना है :

(i) OB = OC

(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है | 

प्रमाण: ΔABC में हमें प्राप्त है:

           AB = AC 

          ∠ B = ∠ C [ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं | ]

अथवा  ½∠ B = ½∠C

इसलिए, ∠OBC = ∠OCB […1]

ΔABO and ΔACO में 

     AB = AC       [दिया है ]

∠OBC = ∠OCB [समी0 1 से ]

     AO = AO      [उभयनिष्ठ]

SAS सर्वांगसमता नियम से 

ΔABO ≅  ΔACO

OB = OC [ By CPCT ]

∠BAO = ∠CAO [ By CPCT ]

अत: AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है | 

Q2. Δ ABC में, AD भुजा BC का लम्ब सम्द्विभाजक है (देखिये आकृति 7.30). दर्शाइए कि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है |.

हल:

दिया है : Δ ABC में, AD, BC का लंब सम्द्विभाजक है |.

सिद्ध करना है : Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है.

प्रमाण: Δ ABD तथा Δ ACD में, 

       DB = DC    [चूँकि D BC को समद्विभाजित करता है ]

 ∠ BDA = ∠CDA [90^० प्रत्येक].

       AD = AD [उभयनिष्ठ']

SAS सर्वांगसमता नियम से 

    Δ ABD ≅ Δ ACD

       AB =AC [by CPCT]

अत:, Δ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है

Q3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं BE और CF पर क्रमशः शीर्षलम्ब AC और AB खींचे गए हैं (देखिए आकृति 7.31)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।

हल : 

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें BE ⊥ AC और CF ⊥ AB जहाँ AB = AC है |

सिद्ध करना है : BE = CF.

प्रमाण :  यहाँ, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB  (दिया है ) 

 ΔABE और Δ ACF में

 ∠ AEB = ∠ AFC  (90^० प्रत्येक) 

     ∠ A = ∠ A       (उभयनिष्ठ)

      AB = AC        (दिया है ) 

ASA सर्वांगसमता कसौटी नियम से 

 ΔABE  ≅  Δ ACF

∴ BE = CF [ By CPCT ]

Proved 

Q4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं  (देखिए आकृति. 7.32). दर्शाइए कि 

(i) Δ ABE ≅ Δ ACF

(ii) AB = AC, अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

हल : 

दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें  

BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है और BE = CF है |

सिद्ध करना है : 

(i) Δ ABE ≅ Δ ACF

(ii) AB = AC,अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है | 

प्रमाण : 

(i) Δ ABE तथा Δ ACF में

    BE = CF           (दिया है ) 

∠ AEB = ∠ AFC     (90^० प्रत्येक ) 

    ∠ A = ∠ A         (उभयनिष्ठ)

ASA सर्वांगसमता नियम के उपयोग से  

 Δ ABE ≅ Δ ACF   सत्यापित -I  

(ii) AB = AC  [By CPCT] 

इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है | 

Q5. ABC और DBC सामान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33). दर्शाइए कि ∠ ABD = ∠ ACD है |

हल : 

दिया है : ABC और DBC सामान आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं |  

सिद्ध करना है : ∠ ABD = ∠ ACD

प्रमाण: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

         AB = AC      (दिया है ) 

 ∴ ∠ ABC = ∠ ACB           .......... (1) 

(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) 

इसीप्रकार, 

BCD भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है | 

           BD = CD      (दिया है) 

 ∴  ∠ DBC = ∠ DCB           .......... (2) 

  (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) 

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर 

 ∠ ABC + ∠ DBC = ∠ ACB + ∠ DCB

Or,           ∠ ABD = ∠ ACD       Proved

Q6. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढाया गया है कि AD = AB है (देखिए आकृति. 7.34) |  दर्शाइए कि ∠ BCD एक समकोण है | 

हल : 

दिया है : ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | 

भुजा BA को बिंदु D तक बढाई गयी है जिससे AD = AB है | 

सिद्ध करना है : ∠ BCD = 90^०

प्रमाण: 

    AB = AC      .............. (1)  (दिया है) 

और  AB = AD      .............. (2)  (दिया है) 

समीकरण (1) तथा (2) से हमें प्राप्त होता है |

     AC = AD       ...............(3) 

 ∴  ∠3 = ∠4     .... (4) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..) 

अब, AB = AC    समी० (1) से 

∴   ∠1 = ∠2     .... (5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)

 ΔABC में 

बहिष्कोण ∠5 = ∠1 + ∠2    (बहिष्कोण अत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है ) 

अथवा, ∠5 = ∠2 + ∠2      समी० (5) से  

अथवाr, ∠5 = 2∠2    ....... (6)

इसीप्रकार, 

बहिष्कोण ∠6 = ∠3 + ∠4 

अथवा,  ∠6 = 2∠3     समी०  (7) से 

समीकरण (6) तथा (7) को जोड़ने पर 

 ∠5 + ∠6  = 2∠2 + 2∠3 

∠5 + ∠6  = 2(∠2 + ∠3)  

अथवा,  180^० = 2(∠2 + ∠3)   [ ∵ ∠BAC + ∠DAC  = 180^० ]

अथवा,  ∠2 + ∠3 = 180^० / 2

अथवा,  ∠BCD = 90^०      Proved

Q7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ A = 90° और AB = AC. तो ∠ B और ∠ C ज्ञात कीजिए | 

हल : 

दिया है : ABCएक समकोण त्रिभुज है जिसमें 

∠ A = 90° और AB = AC है |

ज्ञात करना है : ∠B and ∠C  

    AB = AC          (दिया है) 

∴  ∠B = ∠C      ............(1)

(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)

त्रिभुज ABC में, 

∠A + ∠B + ∠C = 180^०   (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग) 

90° + ∠B + ∠B = 180^०   समीकरण (1) के प्रयोग से  

2 ∠B = 180^० - 90° 

2 ∠B = 90°

   ∠B =  90°/ 2 

   ∠B =  45°

∴ ∠B = 45° and ∠C =  45° 

Q8. दर्शाइए कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है |  

हल : 

दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें  

AB = BC = AC 

सिद्ध करना है : 

∠A = ∠B = ∠C = 60°

प्रमाण :

AB = AC      (दिया है ) 

∠B = ∠C     ....................... (1)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]

AB = BC       (दिया है) 

∠A = ∠C     ....................... (2)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]

AC = BC       (दिया है) 

∠A = ∠B     ....................... (3)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]

समीकरण (1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है |  

 ∠A = ∠B = ∠C     .............. (4) 

त्रिभुज ABC में

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠A + ∠A + ∠A = 180°

3 ∠A = 180°

   ∠A = 180°/3 

   ∠A = 60° 

∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°