प्रश्नावली 6.5

Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल :

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm

कर्ण² = लंब² + आधार²

25² = 7² + 24²

625 = 49 + 576

625 = 625

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण² = लंब² + आधार²

8² = 3² + 6²

64 = 9 + 36

64 = 45

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण² = लंब² + आधार²

100² = 50² + 80²

10000 = 2500 + 6400

10000 = 8900

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण² = लंब² + आधार²

13² = 5² + 12²

169 = 25 + 144

169 = 169

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM² = QM . MR है |

हल:

दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है

जिसका कोण P समकोण है तथा QR

पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है |

सिद्ध करना है : PM² = QM . MR

प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |

इसलिए प्रमेय 6.7 से

ΔPMQ ~ ΔPRQ   ...... (1)

इसीप्रकार,

ΔPMR ~ ΔPRQ   ...... (1)

समीकरण (1) तथा (2) से

     ΔPMQ ~ ΔPMR 

Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि 

(i) AB² = BC . BD

(ii) AC² = BC . DC

(iii) AD² = BD . CD

हल :

दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |

सिद्ध करना है :

(i) AB² = BC . BD

(ii) AC² = BC . DC

(iii) AD² = BD . CD

प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और

AC ⊥ BD दिया है |

ΔABC ~ ΔABD ...... प्रमेय 6.7 

Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है |

हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसका कोण C समकोण है |

सिद्ध करना है : AB² = 2AC²

प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

  AC = BC  .......... (i)

और ABC एक समकोण त्रिभुज है |

  पाइथागोरस प्रमेय से

      AB² = BC² + AC²

अथवा AB² = AC² + AC²  (समी० 1 से)

अथवा AB² = 2AC² Proved

Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |

हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें AC = BC है और  AB² = 2AC² है

सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |

प्रमाण : AC = BC ....(1) दिया है

और   AB² = 2AC²     ......... (दिया है)

अथवा AB² = AC² + AC² 

अथवा AB² = BC² + AC²  ( समी० 1 से )

अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से

ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved

Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |

AB = BC = AC = 2a

रचना : AD ⊥ BC डाला |

अत: समकोण त्रिभुज ACD में

पाइथागोरस प्रमेय से,

AC² = AD² + DC² 

(2a)² = AD² + (a)²

4a² = AD² + a²

AD² = 4a² - a²

AD² = 3a²

Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल:

दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी

भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण

AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,

समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,

AB² = AO² + BO²  …………… (1)

इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,

BC² = CO² + BO²  …………… (2)

CD² = CO² + DO²  …………… (3)

AD² = AO² + DO²  …………… (4)

समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर

AB²+BC²+CD²+AD²=AO²+BO²+CO²+BO²+CO²+DO²+AO²+DO² 

RHS = 2AO² + 2BO² + 2CO² + 2DO²

= 2(AO² + BO² + CO² + DO²) 

Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

दर्शाइए कि 

(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²

(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल: ​

​दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

सिद्ध करना है : 

(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²

(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

प्रमाण: 

समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OA² = AF² + OF²  ......................... (I) 

समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OB² = BD² + OD²  ......................... (II) 

समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OC² = CE² + OE²  ......................... (III) 

समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर 

OA² + OB² + OC² = AF² + OF² + BD² + OD² + CE² + OE²

OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²  Proved I

अब, पुन: 

      OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²  

या  AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² 

या  AF² + BD² + CE² = (OA² – OE² ) + (OB²  – OF² ) + (OC² – OD²)

या AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²  पाइथागोरस प्रमेय से

Q9. 

Q10. 

Q11. 

Q12. 

Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |

सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है |  

Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |

सिद्ध कीजिए कि : 2AB² = 2AC² + BC² है | 

Q16.  किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक  शीर्षलंब  के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |