प्रश्नावली 1.2

Q1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।

(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। 

उत्तर:

(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। (सत्य)

कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय संख्याएँ भी होती है |

(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।

उत्तर:

(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। (असत्य)

कारण: संख्या रेखा पर दोनों ऋणात्मक एवं धनात्मक संख्याएँ होती है, परन्तु प्रत्येक बिंदु पर एक वर्गमूल संख्या हो यह संभव नहीं है |

(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

उत्तर:

(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है। (असत्य)

कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समूह में परिमेय सा संख्याएँ एवं अपरिमेय संख्याएँ दोनों होती हैं | केवल अपरिमेय संख्या नहीं होती हैं |

Q2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।

उत्तर:

सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं,

हम धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9 का उदाहरण लेते है |

√1 = 1 (परिमेय)

√2 = √2 (अपरिमेय)

√3 = √3 (अपरिमेय)

√4 = 2 (परिमेय)

√5 = √5 (अपरिमेय)

√6 = √6 (अपरिमेय)

√7 = √7 (अपरिमेय)

√8 = √8 (अपरिमेय)

√9 = 3 (परिमेय)

उपरोक्त उदाहरण में हम देखते हैं कि 1, 4 और 9 की वर्गमूल क्रमश: 1, 2, और 3 है जो परिमेय संख्या है | 

Q3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर ​ को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।

​Solution:

OA = 1 इकाई, AB = 1 इकाई, 

समकोण ΔAOB में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OB² = OA² + AB²

OB² = 1² + 1²

 OB² = 2

​OB = √2

 अब समकोण ΔBOC में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OC² = OB² + BC²

OC² = (√2)² + 1² 

OC² = 2 + 1 = 3 

OC = √3 

अब समकोण ΔCOD में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OD² = OC² + DC²

OD² = (√3)² + 1² 

OD² = 3 + 1 = 4 

OD = √4 = 2 

अब समकोण ΔDOE में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OE² = OD² + DE²

OE² = (2)² + 1² 

OE² = 4 + 1 = 5 

OE = 

अब O को केंद्र और OE को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचेगे जो संख्या रेखा को OE' पर प्रतिच्छेद करता है जहाँ  OE = OE' = है |