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6. त्रिभुज Mathematics class 10 in Hindi Medium ncert book solutions प्रश्नावली 6.5
6. त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 – Complete NCERT Book Solutions for Class 10 Mathematics (Hindi Medium). Get all chapter explanations, extra questions, solved examples and additional practice questions for 6. त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 to help you master concepts and score higher.
6. त्रिभुज Mathematics class 10 in Hindi Medium ncert book solutions प्रश्नावली 6.5
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6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.5
प्रश्नावली 6.5
Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल :
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
252 = 72 + 242
625 = 49 + 576
625 = 625
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
82 = 32 + 62
64 = 9 + 36
64 = 45
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
1002 = 502 + 802
10000 = 2500 + 6400
10000 = 8900
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
132 = 52 + 122
169 = 25 + 144
169 = 169
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है |
हल:
दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है
जिसका कोण P समकोण है तथा QR
पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है |
सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR
प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |
इसलिए प्रमेय 6.7 से
ΔPMQ ~ ΔPRQ ...... (1)
इसीप्रकार,
ΔPMR ~ ΔPRQ ...... (1)
समीकरण (1) तथा (2) से
ΔPMQ ~ ΔPMR
Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
हल :
दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |
सिद्ध करना है :
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और
AC ⊥ BD दिया है |
ΔABC ~ ΔABD ...... प्रमेय 6.7
Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसका कोण C समकोण है |
सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2
प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AC = BC .......... (i)
और ABC एक समकोण त्रिभुज है |
पाइथागोरस प्रमेय से
AB2 = BC2 + AC2
अथवा AB2 = AC2 + AC2 (समी० 1 से)
अथवा AB2 = 2AC2 Proved
Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसमें AC = BC है और AB2 = 2AC2 है
सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |
प्रमाण : AC = BC ....(1) दिया है
और AB2 = 2AC2 ......... (दिया है)
अथवा AB2 = AC2 + AC2
अथवा AB2 = BC2 + AC2 ( समी० 1 से )
अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से
ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved
Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |
AB = BC = AC = 2a
रचना : AD ⊥ BC डाला |
अत: समकोण त्रिभुज ACD में
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AD2 + DC2
(2a)2 = AD2 + (a)2
4a2 = AD2 + a2
AD2 = 4a2 - a2
AD2 = 3a2
Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी
भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण
AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2
प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,
समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB2 = AO2 + BO2 …………… (1)
इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,
BC2 = CO2 + BO2 …………… (2)
CD2 = CO2 + DO2 …………… (3)
AD2 = AO2 + DO2 …………… (4)
समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर
AB2+BC2+CD2+AD2=AO2+BO2+CO2+BO2+CO2+DO2+AO2+DO2
RHS = 2AO2 + 2BO2 + 2CO2 + 2DO2
= 2(AO2 + BO2 + CO2 + DO2)
Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
दर्शाइए कि
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
हल:
दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
सिद्ध करना है :
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
प्रमाण:
समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से
OA2 = AF2 + OF2 ......................... (I)
समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से
OB2 = BD2 + OD2 ......................... (II)
समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से
OC2 = CE2 + OE2 ......................... (III)
समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर
OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + BD2 + OD2 + CE2 + OE2
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2 Proved I
अब, पुन:
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
या AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2
या AF2 + BD2 + CE2 = (OA2 – OE2 ) + (OB2 – OF2 ) + (OC2 – OD2)
या AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2 पाइथागोरस प्रमेय से
Q9.
Q10.
Q11.
Q12.
Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |
सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है |
Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |
सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2 है |
Q16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |
इस पाठ के अन्य दुसरे विषय भी देखे :
1. प्रश्नावली 6.1 2. प्रश्नावली 6.2 3. प्रश्नावली 6.3 Exercise 6.3 4. प्रश्नावली 6.4 5. प्रश्नावली 6.5 6. प्रश्नावली 6.6