5. समान्तर श्रेढ़ी Mathematics class 10 in Hindi Medium ncert book solutions प्रश्नावली 5.2

 

प्रश्नावली 5.2

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कक्षा - 10 (NCERT Solution)

Q1.  निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है: 

Solution:

(i) a = 7, d = 3, n = 8 a_n = ?

a_n = a + (n - 1)d

 a₈ = 7 + (8 - 1)3

      = 7 + 7 ×3 = 7 + 21

      = 28

(ii) a = - 18, n = 10, a_n = 0, d = ?,

a_n = a + (n - 1)d

 a₁₀ = - 18 + (10 - 1)d

 0    = -18 + 9d

9d = 18 

(iii)  d = -3, n = 18, a_n = -5, a = ?

a_n = a + (n - 1)d

 a₁₈ = a + (18 - 1)d

 -5   = a + 17(- 3)

-5 + 51 = a

a = 46  

 (iv) a = - 18.9,  d = 2.5,  a_n = 3.6  n = ?

a_n = a + (n - 1)d

 3.6 = - 18.9 + (n - 1)2.5

 3.6 + 18.9   = (n - 1)2.5

(n - 1)2.5  = 22.5 

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, a_n = ?

a_n = a + (n - 1)d

     = 3.5 + (105 - 1)0

     = 3.5 + 0

     = 3.5

Q2.  निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P: 10, 7, 4, ...................... का 30 वाँ पद है:

        (A) 97         (B)  77      (C) –77     (D)  – 87

Solution:

a = 10, d = 7 - 10 = -3

30 वाँ पद = ?

a₃₀ = a + 29d

    = 10 + 29(-3)

    = 10 - 87

    = - 77

Correct Answer: (C) - 77 

Correct Answer: (B) 22

Q3.  निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए | 

 

(i) a = 2, b = ?, c = 26 

Solution: 

Solution: (ii)  a₂ = 13,

 ∴   a + d = 13  ................ (1)

        a₄ = 3

  ∴   a + 3d = 3  .................(2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 3d - (a + d) = 3 - 13

a + 3d - a - d = -10

2d = - 10 

d = -5

d  का मान समीo (1) में रखने पर

a + d = 13

a + (- 5) = 13

a = 13 + 5

a = 18 

a₃ = a + 2d = 18 + 2 (-5) 

    = 18 - 10 = 8 

अत: 18, 13, 8, 3

Q4.  A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

Solution:

a = 3, d = 8 - 3 = 5, a_n = 78

a_n  = a + (n - 1) d

78 = 3 + (n - 1) 5

78 - 3 = (n - 1) 5

75 = (n - 1) 5

n - 1 = 75/5 

n - 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

अत: 16 वाँ पद 78 है | 

Q5.  निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

(i) 7, 13, 19, ................. , 205

Solution:

a = 7, d = 13 - 7 = 6, a_n = 205

a_n  = a + (n - 1) d

205 = 7 + (n - 1) 6

205 - 7 = (n - 1) 6

198 = (n - 1) 6

n - 1 = 33

n = 33 + 1

n = 34

इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |

इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |

Q6.  क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद - 150 है ? क्यों ?

Solution:

a = 11, d = 8 - 11 = - 3 और a_n = - 150

a_n  = a + (n - 1) d

- 150 = 11 + (n - 1) - 3

- 150 - 11 = (n - 1) -3

- 161 = (n - 1) - 3 

n - 1 = 53. 66

n = 53.66 + 1

n = 54.66

यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है

इसलिए - 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |

Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Solution:

31वाँ पद = ?

a₁₁ = 38

⇒a + 10d = 38 ..................... (1)

a₁₆ = 73

⇒ a + 15d = 73 ..................... (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 15d - (a + 10d ) = 73 - 38

a + 15d - a - 10d = 35

5d = 35

 

d = 7

समीo (1) में d का मान 7 रखने पर

a + 10d = 38

a = 10 (7) = 38

a = 38 - 70

a = - 32

अब, a₃₁ = a + 30d

⇒ a₃₁ = - 32 + 30(7)

⇒ a₃₁ = - 32 + 210

 ⇒ a₃₁ = 178

अत: 31 वाँ पद 178 है |

Q8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

A.P में 50 पद हैं |

अत: n = 50

a₃ = 12

⇒ a + 2d = 12 ..................... (1)

और अंतिम पद 106 है।

a_n = 106

या a₅₀ = 106

⇒ a + 49d = 106 ..................... (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 49d - (a + 2d ) = 106 - 12

a + 49d - a - 2d = 94

47d = 94

d = 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 12

a = 2(2) = 12

a = 12 - 4

a = 8

अब, a₂₉ = a + 28d

⇒ a₂₉ = 8 + 28(2)

⇒ a₂₉ = 8 + 56

 ⇒ a₂₉ = 64

अत: 29 वाँ पद 64 है |

Q9.  यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य

होगा?

Solution:

a₃ = 4

⇒ a + 2d = 4 ..................... (1)

और नौवा पद - 8 है।

a₉ = - 8

⇒ a + 8d = - 8 ..................... (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 8d - (a + 2d ) = - 8 - 4

a + 8d - a - 2d = - 12

6d = - 12

d = - 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 4

a = 2(-2) = 4

a = 4 + 4

a = 8

अत: a = 8, और d = - 2

माना n वाँ पद शून्य है |

a_n = 0

a_n  = a + (n - 1) d

⇒ 0 =  8  + (n - 1) -2

⇒ - 8 = (n - 1) -2

​

⇒ n - 1 = 4

⇒ n = 4 + 1 = 5

अत: 5 वाँ पद शून्य है | 

Q10.  किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Solution:

चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।

∴ a₁₇  - a₁₀ = 7

⇒ a + 16d - (a + 9d) = 7

⇒a + 16d - a - 9d = 7

⇒ 7d = 7

⇒ d = 1

सार्व अंतर = 1

Q11.  A.P. : 3, 15, 27,  39, ......... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

Solution:

a = 3, d = 15 - 3 = 12

a₅₄ = a + 53d

    = 3 + 53(12)

    = 3 + 636

    = 639

वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा

a_n = a₅₄ + 132

   = 639 + 132

    = 771

a_n  = a + (n - 1) d

⇒ 771 =  3  + (n - 1) 12

⇒ 771 - 3 = (n - 1) 12

⇒ 768 = (n - 1) 12 

⇒ n - 1 = 64

⇒n = 64 + 1 = 65

अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |

Q12.  दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

Solution:

माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a

और दुसरे A.P का प्रथम पद = a' है |

और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है

प्रश्नानुसार,

a₁₀₀ - a'₁₀₀ = 100

a + 99d - (a' + 99d) = 100

a + 99d - a' - 99d = 100

a - a' = 100 ................ (1)

a₁₀₀₀ - a'₁₀₀₀ = a + 999d - (a' + 999d)

            = a + 999d - a' - 999d

            = a + a'

चूँकि a + a' = 100 है समीo (1) से

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

Q13.  तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Solution:

तीन अंको की संख्या 100 .................. 999 के बीच होती है |

अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:

105, 112, 119, ........................ 994

इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |

∴ a = 105, d = 7 और a_n = 994

a_n  = a + (n - 1) d

⇒ 994 =  105  + (n - 1) 7

⇒ 994 - 105 = (n - 1) 7

⇒ 889 = (n - 1) 7

⇒ n - 1 = 127

⇒ n = 127 + 1 = 128

अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |

Q14.  10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

Solution:

10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |

12, 16, 20, ........................ 248

∴ a = 12, d = 4 और a_n = 248

a_n  = a + (n - 1) d

⇒ 248 =  12  + (n - 1) 4

⇒ 248 - 12 = (n - 1) 4

⇒ 236 = (n - 1) 4

​

⇒ n - 1 = 59

⇒ n = 59 + 1 = 60

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |

Q15.  n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, .......... और 3, 10, 17, .................. के n वें पद बराबर होंगे?

Solution:

प्रथम A.P:  63, 65, 67, ..........

जिसमें, a = 63, d = 65 - 63 = 2

a_n  = a + (n - 1) d

   = 63 + (n - 1) 2

   = 63 + 2n - 2

   = 61 + 2n .................... (1)

द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ..................

जिसमें , a = 3, d = 10 - 3 = 7

a_n  = a + (n - 1) d

   = 3 + (n - 1) 7

   = 3 + 7n - 7

   = - 4 + 7n .................... (1)

चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से

61 + 2n = - 4 + 7n

61 + 4 = 7n - 2n

5n = 65

n = 65/5

n = 13

अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |

Q16.  वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

Solution:

माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,

a₃ = 16

� a + 2d = 16 ..................... (1)

a₇ - a₅ = 12

⇒ a + 6d - (a + 4d) = 12

⇒ a + 6d - a - 4d = 12

⇒ 2d = 12

⇒ d = 6

अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर '

a + 2d = 16

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 16 - 12

a = 4

a, a + d, a + 2d, a + 3d ..................

⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ...............

अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 ..............................

Q17. A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

दिया गया A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 है |

प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 - 3 = 5

परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,

और सार्व अंतर d = - 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]

a₂₀ = a + 19d

   = 253 + 19(-5)

   = 253 - 95

   = 158

अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है | 

Q18. किसी A.P.  के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.  के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

a₄ + a₈ = 24

या    a + 3d + a + 7d = 24

या    2a + 10d = 24

या    2(a + 5d) = 24 

या    a + 5d = 12  ……………………. (1)

इसीप्रकार,

A₆ + a₁₀ = 44

या    a + 5d + a + 9d = 44

या    2a + 14d = 44

या    2(a + 7d) = 44 

या    a + 7d = 22  ……………………. (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

(a + 7d) – (a + 5d)  = 22  - 12

या    a + 7d – a - 5d  = 10

या    2d = 10

या    d = 5

समीकरण (1) में d = 5 रखने पर

a + 5(5) = 12

या    a + 25 = 12

या    a = 12 – 25

या    a = - 13

अत: A.P के प्रथम 3 पद है :

-13, -13 + 5, -13 + 2(5)

   -13, - 8, - 3  

Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?

Solution:

दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :

A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000

a = 5000, d = 200, a_n = 7000

a_n = a + (n – 1)d

7000 = 5000 + (n – 1)200

7000 – 5000 = (n – 1)200

2000 = (n – 1)200

n - 1 = 20

n = 20 + 1

n = 21 वर्ष

अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |

1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |

Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

Solution:

इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :

A.P: 5, 6.75, 8.50, ..........................., 20.75

A = 5, d = 1.75, a_n = 20.75

a_n = a + (n – 1)d

20.75 = 5 + (n – 1)1.75

20.75 – 5 = (n – 1)1.75

15.75 = (n – 1)1.75

n - 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10  

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