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8. Quadrilaterals MATHEMATICS class 9 in English Medium ncert book solutions Exercise 8.1
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8. Quadrilaterals MATHEMATICS class 9 in English Medium ncert book solutions Exercise 8.1
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8. Quadrilaterals
Exercise 8.1
Exercise 8.1
Q1.The angles of quadrilateral are in the ratio 3 : 5 : 9 : 13. Find all the angles of the quadrilateral.
Solution:
Let be ∠A = 3x,
∠B = 5x,
∠C = 9x and
∠D = 13x,
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360o
(Sum of four angles of a quadrilateral is 360o )
⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360o
⇒ 30x = 360o
Therefore all angles will be;
∠A = 3x = 3 × 12o = 36o
∠B = 5x = 5 × 12o = 60o
∠C = 9x = 9 × 12o = 108o
∠D = 13x = 13 × 12o = 156o
Q2. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है |
Solution:
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
जिसके विकर्ण AC = BD है |
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है |
प्रमाण : ΔABD तथा ΔABC में
AD = BC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
BD = AC (दिया है)
SSS सर्वांगसमता नियम से
ΔABD ≅ ΔABC
∴ ∠A = ∠B (By CPCT) …… (1)
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
∴ AD || BC और AB एक तिर्यक रेखा है |
अत: ∠A + ∠B = 180o (अंत: आसन्न कोणों का योग)
⇒∠A + ∠A = 180o ..समीo (1) से
⇒2∠A = 180o
⇒∠A = 90o
(वह समांतर चतुर्भुज जिसकी एक कोण समकोण हो आयत कहलाता है)
अत: ABCD एक आयत है | proved
Q3. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
Solution:
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है |
जिसके विकर्ण AC तथा BD एक दुसरे को बिंदु O
पर समद्विभाजित करते हैं | जहाँ ∠COD = 90o है
और AO = CO तथा BO = DO है |
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है |
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में
AO = CO (दिया है)
BO = DO (दिया है)
∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)
अत: SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB ≅ ΔCOD
∴ AB = CD (By CPCT) …… (1)
तथा ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण) (By CPCT)
∴ AB || CD ......... (2) (एकांतर कोण बराबर हो तो रेखाएँ समांतर होती है )
समीo (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
(यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर एवं समान्तर हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है |)
∴ AD = BC ........... (3) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर होती है)
अब ΔAOD तथा ΔCOD में
AO = CO (दिया है)
DO = DO (उभयनिष्ठ)
∠AOD = ∠COD (90o प्रत्येक)
अत: SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOD ≅ ΔCOD
∴ AD = CD (By CPCT) …… (4)
समीo (1), (3) तथा (4) से हम पाते हैं |
AB = BC = CD = AD
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है | (Proved)
(वह समान्तर चतुर्भुज जिसकी प्रत्येक भुजा बराबर हो समचतुर्भुज होता है |)
Q4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं |
Solution:
दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC तथा BD एक
दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है |
सिद्ध करना है :
(i) AO = CO तथा BO = DO
(ii) AOB = 90o
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में
AB = CD (वर्ग की भुजा)
∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण)
∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)
अत: ASA सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB ≅ ΔCOD
∴ AO = CO तथा BO = DO (By CPCT) ........... (1)
पुन: ΔAOB तथा ΔBOC में
AB = BC (वर्ग की भुजा)
BO = BO (उभयनिष्ठ)
AO = CO समीo (1) से
अत: SSS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB ≅ ΔBOC
अत: ∠AOB = ∠COB (By CPCT) ........... (2)
अब ∠AOB + ∠COB = 180o (रैखिक युग्म)
⇒∠AOB + ∠AOB = 180o समी0 (2) से
⇒2∠AOB = 180o
⇒∠AOB = 90o
Proved
Q5. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हो और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है |
Solution:
दिया है : ABCD एकचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC = BD है और एक
दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है | जहाँ AO = CO तथा BO = DO है |
सिद्ध करना है : ABCD एक वर्ग है |
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में
AO = CO (दिया है)
BO = DO (दिया है)
∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)
अत: SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB ≅ ΔCOD
∴ AB = CD (By CPCT) …… (1)
तथा ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण) (By CPCT)
∴ AB || CD ......... (2) (एकांतर कोण बराबर हो तो रेखाएँ समांतर होती है )
समीo (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
(यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर एवं समान्तर हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है |)
∴ AD = BC ........... (3) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर होती है)
अब ΔAOD तथा ΔCOD में
AO = CO (दिया है)
DO = DO (उभयनिष्ठ)
∠AOD = ∠COD (90o प्रत्येक)
अत: SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOD ≅ ΔCOD
∴ AD = CD (By CPCT) …… (4)
समीo (1), (3) तथा (4) से हम पाते हैं |
AB = BC = CD = AD ........... (5)
अब, ΔABD तथा ΔABC में
AD = BC (वर्ग की सम्मुख भुजा)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
BD = AC (दिया है)
SSS सर्वांगसमता नियम से
ΔABD ≅ ΔABD
∴ ∠A = ∠B (By CPCT) …… (6)
चूँकि ABCD एक वर्ग है |
∴ AD || BC और AB एक तिर्यक रेखा है |
अत: ∠A + ∠B = 180o (अंत: आसन्न कोणों का योग)
⇒∠A + ∠A = 180o ..समीo (6) से
⇒2∠A = 180o
⇒∠A = 90o .......... (7)
समीo (5) तथा (7) से स्पष्ट है कि
ABCD एक वर्ग है | Proved
Q6. समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है | दर्शाइए कि
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है |
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है |
Solution:
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसका
विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना है :
(i) AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है |
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है |
प्रमाण:
(i)
ΔABC तथा ΔDAC में,
∠BAC = ∠BAC (दिया है)
∠B = ∠D (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है )
AC = AC (उभयनिष्ठ)
अत: ASA सर्वांगसमता नियम से
ΔABC ≅ ΔDAC
∴ ∠BCA = ∠DCA (By CPCT)
अत: विकर्ण AC, ∠C को समद्विभाजित करता है |
(ii)
पुन: AB = AD (By CPCT) ............................... (1)
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
∴ AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ) ......(2)
और
BC = AD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ) ......(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से
AB = BC = CD = AD
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है | (Proved)
Q7. ABCD एक समचतुर्भुज है | दर्शाइए कि AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B तथा D दोनों को समद्विभाजित करता है |
Solution:
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज चतुर्भुज है |
सिद्ध करना है :
(i) AC, ∠A तथा ∠C को भी समद्विभाजित करता है |
(ii) BD, ∠B तथा ∠D को भी समद्विभाजित करता है |
प्रमाण:
(i)
ΔABC तथा ΔADC में,
AB = AD (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
∠B = ∠D (समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है )
AC = AC (उभयनिष्ठ)
अत: SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔABC ≅ ΔADC
∴ ∠BAC = ∠DAC (By CPCT) ................ (1)
∴ ∠BCA = ∠DCA (By CPCT) ................(2)
समीo (1) तथा (2) से
विकर्ण AC, ∠A तथा ∠C को समद्विभाजित करता है |
इसी प्रकार हम
(ii) BD, ∠B तथा ∠D को भी समद्विभाजित करता है |
को भी सिद्ध कर सकते हैं |
Q8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोण A और C को समद्विभाजित करता है | दर्शाइए कि:
(i) ABCD एक वर्ग है |
(ii) विकर्ण BD दोनों कोण B और D को समद्विभाजित करता है
Solution:
दिया है: ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोण A और C को समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना है :
(i) ABCD एक वर्ग है |
(ii) विकर्ण BD दोनों कोण B और D को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण:
(i) चूँकि ABCD एक आयत है |
∴ AB = CD .................. (1) आयत की सम्मुख भुजा
और AD = BC .................. (2) आयत की सम्मुख भुजा
अब, ΔABC तथा ΔACD में,
∠BAC = ∠DAC (दिया है ) चूँकि AC कोण A और C को समद्विभाजित करता है |
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∠B = ∠D (प्रत्येक 90o ) आयत के कोण
A.A.S सर्वांगसमता नियम से
ΔABC ≅ ΔACD
∴ AB = AD ..................... (3) (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
समीकरण (1), (2) और (3) से
AB = BC = CD = AD
चूँकि ABCD एक आयत है और इसकी प्रत्येक भुजा बराबर भी है |
अत: ABCD एक वर्ग है | Proved
(ii) ΔABD तथा ΔCBD में,
AB = BC (वर्ग की भुजा)
BD = BD (उभयनिष्ठ)
∠A = ∠C (प्रत्येक 90o ) वर्ग के कोण
S.A.S सर्वांगसमता नियम से
ΔABD ≅ ΔCBD
Δ ∠
Q9. समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। दर्शाइए कि
(i) Δ APD ≅ Δ CQB
(ii) AP = CQ
(iii) Δ AQB ≅ Δ CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है |
Solution:
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और DP = BQ है |
सिद्ध करना है :
(i) Δ APD ≅ Δ CQB
(ii) AP = CQ
(iii) Δ AQB ≅ Δ CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है |
प्रणाम :
(i) Δ APD तथा Δ CQB में
AD = BC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
DP = BQ (दिया है )
∠ADP = ∠CBQ (एकांतर अत: कोण)
अत: S.A.S सर्वांगसमता नियम से
∴ Δ APD ≅ Δ CQB
(i) अत: AP = CQ ................... (1) (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
(iii) Δ AQB तथा Δ CPD में
AB = DC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
BQ = DP (दिया है )
∠ABQ = ∠CDP (एकांतर अत: कोण)
अत: S.A.S सर्वांगसमता नियम से
∴ Δ AQB ≅ Δ CPD
(iv) अत: AQ = CP ................... (2) (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
(v) समीo (1) तथा (2) से
APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है |
Q10. ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ
शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं।
दर्शाइए कि
(i) Δ APB ≅ Δ CQD
(ii) AP = CQ
Solution:
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ
शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं।
सिद्ध करना है :
(i) Δ APB ≅ Δ CQD
(ii) AP = CQ
प्रमाण:
(i) Δ APB तथा Δ CQD में,
AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
∠ABP = ∠CDQ (एकांतर अत: कोण)
∠APB = ∠CQD (प्रत्येक 90o)
अत:, ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ APB ≅ Δ CQD
(ii) इसलिए, AP = CQ (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
Q11. ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB||DF, BC = EF और BC||EF है | शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है | दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है|
(iv चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है |
(vi) Δ ABC ≅ Δ DEF है |
Solution:
दिया है : ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB||DF, BC = EF और BC||EF है |
सिद्ध करना है :
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है|
(iv चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है |
(vi) Δ ABC ≅ Δ DEF है |
प्रमाण:
(i) चतुर्भुज ABED में
AB = DE और AB||DF दिया है |
∴ चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है |
( यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है )
अब, चूँकि ABED एक समांतर चतुर्भुज है |
∴ AD = BE और AD|| BE .........(1)
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर और समांतर होती है)
(ii) इसीप्रकार से, चतुर्भुज BEFC में
BC = EF और BC||EF दिया है |
∴चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है |
अत: CF = BE और CF||BE ........... (2) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख)
(iii) समीo (1) तथा (2) से
AD || CF और AD = CF है|
(चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है)
∴चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए, AC = DF और AC||DF .......... (3)
(vi) Δ ABC और Δ DEF में,
AB = DE (दिया है)
BC = EF (दिया है)
AC = DF (समीo 3 से)
S.S.S सर्वांगसमता नियम से
Δ ABC ≅ Δ DEF Proved
Q12. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है | दर्शाइए कि
(i) ∠ A = ∠ B
(ii) ∠ C = ∠ D
(iii) Δ ABC ≅ Δ BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है |
Solution:
दिया है : ABCD एक समलम्ब है,
जिसमें AB || DC और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
(i) ∠ A = ∠ B
(ii) ∠ C = ∠ D
(iii) Δ ABC ≅ Δ BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है |
रचना : AD के समांतर CE खिंचा |
प्रमाण: AB || DC ....................... (1) दिया है |
AD || CE ...................... (2) रचना से
[चूँकि सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समांतर हो तो वो समांतर चतुर्भुज होता है] |]
समीकरण (1) तथा (2) से
AECD एक समांतर चतुर्भुज है |
∴ AD = CE .............. (3) [समांतर चतुर्भुज AECD की सम्मुख भुजा]
जबकि, AD = BC ................... (4) दिया है |
समीo (3) तथा (4) से
BC = CE
∴ ∠2 = ∠3 ............... (5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ... )
AB || CD दिया है और BC एक तिर्यक रेखा है |
∴ ∠2 = ∠5 .............. (6) [अंत: एकांतर कोण]
समीo (5) तथा (6) से हमें प्राप्त होता है |
∠3 = ∠5 ................... (7)
अब DBEC में,
बहिष्कोंण ∠1 = ∠3 + ∠4
या ∠1 = ∠5 + ∠4 समीo (7) से
या ∠B = ∠ECD ............ (8)