Class 10 1. वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3: NCERT Book Solutions
Class 10 chapter 1. वास्तविक संख्याएँ important extra short questions with solution for board exams and term 1 and term 2 exams.
NCERT Solutions
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1. वास्तविक संख्याएँ : प्रश्नावली 1.3 Mathematics class 10th:Hindi Medium NCERT Book Solutions
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Class 10 1. वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3: NCERT Book Solutions
NCERT Books Subjects for class 10th Hindi Medium
1. वास्तविक संख्याएँ
Class 10 chapter 1. वास्तविक संख्याएँ important extra short questions with solution for board exams and term 1 and term 2 exams.
प्रश्नावली 1.3
प्रश्नावली 1.3
Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :
इसके विपरीत मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है |
हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q ≠ 0 है |
इसलिए,
यहाँ 5 a2 को विभाजित करता है अत: 5 a को भी विभाजित करेगा | ....(1)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
अत: a = 5c माना [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुनाखंड है |]
5b2 = a2 में a = 5c रखने पर
⇒ 5b2 = (5c)2
⇒ 5b2 = 25c2
⇒ b2 = 5c2
यहाँ 5 b2 को विभाजित करता है अत: 5 b को भी विभाजित करेगा | ....(2)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है |
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |
Q2. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :
इसके विपरीत मान लीजिए कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |
हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q ≠ 0 है |
इसलिए,
और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |
चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है |
इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि √5 परिमेय संख्या है |
ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |
अत: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |
यहाँ 2 b2 को विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा | ....(1)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
अत: b = 2c माना [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है | ]
यहाँ 2 a2 को विभाजित करता है अत: 2 a को भी विभाजित करेगा | ....(2)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था |
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि
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Mathematics Chapter List
1. Real Numbers
2. Polynomials
3. Pair of Linear Equations in Two Variables
4. Quadratic Equations
5. Arithmetic Progressions
6. Triangles
7. Coordinate Geometry
8. Introduction to Trigonometry
9. Some Applications of Trigonometry
10. Circles
11. Constructions
12. Areas Related to Circles
13. Surface Areas and Volumes
14. Statistics
15. Probability